حجه‌الحق امام غیاث‌الدین عمربن ابراهیم خیامی معروف به حکیم عمر خیام در اول ذیحجه ۴۳۹ قمری (۱۸ ماه مه ۱۰۴۸ میلادی) در نیشابور متولد شد. شاگرد امام‌الحرمین جوینی، ابوالحسین انبیری و … بوده است. ابن سینا ۱۱ سال قبل از تولد خیام چشم از جهان فرو بسته بود اما خیام همواره خود را شاگرد او دانسته و ارادتی وافر به او داشته است. روزی در حضور او از کسی سخن می‌گویند که نظریات ابوعلی سینا را رد می‌کرده و نظر خیام را می‌پرسند. می‌گوید: او را رتبۀ یافت کلام ابوعلی نیست؛ چگونه رتبۀ اعتراض باشد او را؟
خیام در تمام علوم زمان خود سرآمد بود. در اوان جوانی رساله‌ای در گرفتن جذر و کعب نوشت. در سمرقند در سایۀ حمایت ابو طاهر عبدالرحمن‌بن علق رساله‌ای در جبر و مقابله نوشت. در این رساله معادلات درجۀ دوم و درجۀ سوم از راه‌های هندسی و جبری حل شده‌اند. او بسیاری از مسائل جبری را با استفاده از مقاطع مخروطی حل کرد. خیام هم چنین با بسط دوجمله‌ای که اکنون به بسط دوجمله‌ای خیام- نیوتن (۱۷۲۷-۱۶۴۲ میلادی) معروف است و یافتن ضرایب این بسط، به دستوری دست یافت که اکنون به مثلث خیام- پاسکال (۱۶۲۳- ۱۶۶۲ میلادی) معروف است. خیام به بسیاری از خواص این مثلث پی برده بود.
پس از فتح سمرقند توسط ملکشاه سلجوقی، خیام در سایۀ حمایت خواجه نظام‌الملک وزیر خردمند ملکشاه قرار گرفت.
در سال ۴۶۷ قمری (۱۰۷۴ میلادی) در حال که تنها ۲۷ سال داشت، مأمور شد که با همکاری دانشمندان و ریاضی‌دانان مشهوری همچون ابوالمظفر اسفزاری و میمون‌النجیب الواسطی، ابوالفتح عبدالرحمن خازنی، ابوالعباس لوکری و معموری بیهقی به اصلاح تقویم موجود بپردازد. حاصل این کارِ گروهیِ عظیم که در رصدخانۀ اصفهان صورت گرفت و تا سال ۴۷۱ قمری (۱۰۷۸ میلادی) ادامه یاقت، تقویم جلالی بود که تا به امروز یکی از دقیق‌ترین گاه‌شمارهای جهان به شمار می رود.
پس از استیلای اعراب تقویم هجری قمری رایج شده بود. با این تقویم کارِ گرفتن مالیات از کشاورزان همواره با مشکل مواجه می‌شد. برای یکنواخت کردن تاریخِ گرفتنِ مالیات، ملکشاه تصمیم به تغییر تقویم گرفت.
تقویم جلالی تقویمی شمسی است. در این تقویم سال کبیسه هر ۴ سال یک بار اجرا می‌شود (کبیسۀ رباعی) ولی هر ۳۳ و یا ۲۹ سال (بسته به رصد آسمان توسط منجمان) یک بار کبیسه پس از پنج سال اجرا می‌شود (کبیسۀ خمسه). تاریخ شروع تقویم جلالی اول فروردین ۴۵۸ هجری شمسی معادل ۱۵ مارس ۱۰۷۹ میلادی و ۹ رمضان ۴۷۱ هجری قمری بوده است.
خیام در سال ۴۷۰ قمری (۱۰۷۷ میلادی) رساله‌ای در هندسه نوشت که در آن روی اصول هندسۀ اقلیدس مخصوصاً اصل پنجم آن تحقیق و کار کرد. یعنی نسبت به اصول هندسۀ اقلیدسی که صدها سال کتاب درسی سراسر دنیا بود، شک کرد. باید قبول کرد که ایجاد هندسۀ غیر اقلیدسی برای آن دوره بسیار زود بوده است. زیرا تمامی مسائل آن زمان با استفاده از هندسۀ اقلیدسی قابل حل بودند. اما بیش از ۷۰۰ سال بعد، همان روش خیام مبنای کار لباچفسکی (۱۷۹۲-۱۸۵۶ میلادی) در ساختن هندسۀ غیر اقلیدسی قرار گرفت که با فاصلۀ کمی مورد استفادۀ اینشتین (۱۹۵۵- ۱۸۷۹ میلادی) قرار گرفت.
خیام رساله‌ای در بارۀ نظریۀ ریاضیِ موسیقی، رساله‌ای در علم مکانیک و تعیین وزن مخصوص اجسام و هم چنین رساله‌ای در بارۀ روش‌های تعیین جهات و سبب اختلاف هوا در مناطق مختلف (هواشناسی) دارد. مهم‌ترین رسالۀ خیام در فلسفه رسالۀ الکون والتکلیف است. در کلام و هم‌چنین ادبیات فارسی و عرب نیز استاد بوده است. از اشعارش پیداست که با فردوسی و شاعر بزرگ عرب یعنی ابوالعلای معری به خوبی آشنا بوده. او را تالی ابن‌سینا دانسته‌اند. امام محمد غزالی و عین‌القضات همدانی در زمرۀ شاگردان او بودند.
از آزمایشی که در حضور شاگردانش انجام داده چنین بر‌می‌آید که که به حرکت زمین به دور خورشید پی برده بود. او در این آزمایش، در یک فضای استوانه‌ای شکل، جسمی را حول محوری و به دور یک شمع می‌چرخاند و وضعیت زمین و ستارگان را در آسمان به این شکل توضیح می‌دهد. یعنی در ثابت بودن زمین که مورد تأیید همۀ دانشمندان آن روز بوده، شک می‌کند و بدیلی بسیار هوشمندانه برای آن می‌یابد.
پس از کشته شدن خواجه نظام‌الملک توسط فدائیان اسماعیلیه و مرگ ملکشاه در سال ۴۸۵ قمری (۱۰۹۲ میلادی)، رصدخانۀ اصفهان تعطیل شد و خیام به نیشابور بازگشت.
در زمانی که سنجر نوجوان بود، خیام برای بیماری آبله‌اش به بالین او آمد. یعنی در پزشکی هم مورد مشورت قرار می‌گرفته. اما هیچ‌گاه مورد محبت سلطان سنجر قرار نگرفت. شاید این بی مهری از آن رو باشد که خیام تحت تأثیر سیاست مدنی یونانیان مداخلۀ اعضای جامعه را در حکومت طلب می‌کرد و مخالف حکومت پادشاهی مطلقه بود. ابن قفطی می‌گوید: ”در التزام سیاست مدنیه، بر موجب قواعد یونانیه، مبالغت فرمودی… “ نارضایتی سلطان سنجر از این نظریات و مخالفت اهل ظاهر و متکلمان از سوی دیگر، موجب خانه‌نشینی خیام شد.
خیام در سال۵۲۶ قمری (۱۱۳۱ میلادی) در سن ۸۳ سالگی در نیشابور درگذشت. شاید بی مناسبت نباشد که گفته شود در دم مرگ مشغول مطالعۀ کتاب شفای ابن‌سینا بوده است. بعید به نظر می‌رسد آن را برای اولین بار در دم مرگ می‌خوانده، بیش‌تر احتمال دارد که همیشه به آن مراجعه می‌کرده است؛ یعنی در فلسفه پیرو ابن‌سینا بوده و همواره عقل و منطق و برهان را معیار و ترازوی شناخت می‌دانسته.
